耦合谐振子可能被分解？《张背阴的物理课》求解耦合谐振子的振动方式

原问题 ：耦合谐振子可能被分解？《张背阴的耦合耦合物理课》求解耦合谐振子的振动方式

典型谐振子与量子谐振子是奈何样对于应起来的？耦合在一起的两个谐振子理当奈何样求解？7月16日12时 ，《张背阴的谐振谐振物理课》第一百五十八期开播
，搜狐独创人、被分背阴董事局主席兼CEO、解张物理学博士张背阴坐镇搜狐视频直播间，物的振动方先从典型角度求解了一维谐振子，理课并指出典型简谐行动对于应量子谐振子的求解某种特殊的叠加态 ，而后分说从典型、耦合耦合量子两个角度入手求解了耦合在一起的谐振谐振两个谐振子的行动，最终患上悉这样的被分背阴耦合零星可能分解成两个差距频率的谐振子 
，分说对于应两种差距的解张行动方式
。

求解典型谐振子 介绍其在量子谐振子中的物的振动方对于应

课程一起头，张背阴扼腹地温习了上一次直播课的理课内容，而后开始介绍起典型力学中的求解一维谐振子
。假如弹簧的耦合耦合劲度系数是k，衔接弹簧的粒子品质为m，失调位置为坐标原点
，那末粒子的势能为

在牛顿力学中，弹簧熏染在粒子上的力即是粒子势场的负梯度，由于这里是一维下场，因此力为

凭证牛顿第二定律 ，可患上粒子的行动方程为

化简可患上

这种方式的方程在从前的物理直播课中已经介绍过良一再了，张背阴在这次直播课中间接写下了它的解：

其中，ϕ以及A都是常数
，ϕ是谐振子的初始相位
，A是振幅 。由上式简略患上到粒子的行动速率为

粒子的总能量即是势能加之动能 ，因此，总能量为

可见 ，在典型情景中 ，能量E与振幅A与角频率ω无关
。可是
，在量子力学中能级是分立的 ，每一个能级对于应的是一个定态。而量子力学中的定态
，在典型力学中并无根基的对于应。典型力学中的“粒子”行动 ，对于应到量子力学中理当是波包的演化。假如波包的初始态是

那末这个波包随光阴的演化为

假如读者感兴趣的话
，可能合计患上到谐振子的一个特殊的态，这个态对于应于高斯波包 ，其中间位置随光阴的变更偏偏划一于典型谐振子随光阴的变更
。

（张背阴求解典型一维谐振子）

合成典型耦合谐振子的行动 分解患上到两种行动方式

思考完单个谐振子的典型合成之后
，张背阴开始介绍两个谐振子耦合在一起的模子。他介绍说 ，这次的物理课主要沿两个路线妨碍 ，一个是典型路线，另一个是量子路线
，接下来要介绍的便是耦合谐振子的典型合成 。

与单个谐振子的情景同样，咱们也只思考一维耦合谐振子。假如两个谐振子的失调位置分说处在x=a与x=-a处
，两个谐振子的角频率都是ω ，其品质都是m。这两个谐振子不是相互自力的，而是存在相互熏染的 ，其相互熏染势正比于两个粒子的距离平方
。于是
，可能将零星的总势能写为

其中，x1与x2分说是两个谐振子对于应粒子的位置坐标，λ是与相互熏染势无关的系数
，在这里咱们假如λ>0，不外纵然λ小于0，惟独λ大于-1/4 ，下面的合成依然适用 。

凭证势能表白式 ，第一个谐振子对于应的粒子受到的力为

同理 ，可患上第二个谐振子对于应的粒子所受到的力为

由此可患上两个谐振子的行动方程为

回顾从前咱们对于二体下场的处置 ，咱们艰深可能将二体下场分解成质心行动以及相对于行动两部份，因此
，在这里咱们也可能沿这个思绪妨碍上来，看看能不能简化下场。质心坐标为

两粒子的相对于位置坐标为

将前面的式(1)与式(2)相加并消去m可患上

可见质心行动与相对于行动无关，它划一于一个谐振子的行动 ，它的艰深解为

将前面的式(1)减去式(2) ，而后消去m ，有

将x1-x2写为x_R，即患上

可见相对于行动也是与质心行动无关的，因此相对于行动与质心行动相互自力
。由于常数函数的导数为0 ，因此可能将上式改写为

这个方程的方式同样是谐振子的行动方程的方式
，由此可能解患上

其中ω_R为

这一个服从也可能改写为

由于咱们假如了λ>0 ，因此ω_R>ω，换言之 ，相对于行动以更大的角频率妨碍振动 。当两个谐振子都处于失调位置时
，A=B=0，此时有

可见
 ，由于耦合的存在，两个粒子的失调位置再也不处于x=a概况x=-a处了 ，而是处在更相互挨近的位置，使患上失调时x_R小于2a。

张背阴进一步介绍，假如旁不雅耦合谐振子中单个谐振子的行动 ，将会发现其行动是很重大的 。可是假如分说思考其质心行动以及相对于行动
，会发现这两者都是重大的简谐行动。在典型力学中 ，这样分解进去的简谐行动被称为行动方式。在咱们这里的模子中一共有两个行动方式
，其中一个方式是质心行动
，代表的是两个粒子部份的行动，假如仅有这个行动方式存在 ，那末两个粒子的相对于距离坚持巩固
，这两个粒子同阵势以角频率ω作简谐行动；另一个方式是相对于行动，代表的是两个粒子相对于位置随光阴的修正，假如仅有这个行动方式存在 ，那末这两个粒子的中间将不断处在座标原点，两个粒子以相同的相位、以同样的角频率ω_R作简谐行动 。张背阴还夸张 ，这两种方式都是总体行动，而非单个粒子自己的行动。

（张背阴从典型角度分解出耦合谐振子的两个行动方式）

从量子角度求解耦合谐振子患上到能级与量子态

假如从量子力学的角度来思考耦合谐振子 ，那末就需要从哈密顿量及算符入手。此零星的哈密顿算符为

留意，上式的x一、x二 、p一 、p2都是算符，为重大起见 ，咱们省略了其上的hat算符旗号
。

回顾氢原子下场上的处置 ，咱们将氢原子的行动分解成为了质心行动部份以及相对于行动部份
 。接下来咱们将模拟其中的历程来合成。首先，质心坐标算符以及相对于位置算符分说为

零星的总品质为M=m+m=2m，约化品质为μ=m×m/(m+m)=m/2
，因此总动量算符以及相对于动量算符分说为

aa留意到x一、x二
、p一、p2之间的对于易关连为

由此简略证实下面六个对于易关连 ：

以是x_C与p_C是一对于相互共轭的位置算符与动量算符
，x_R与p_R是另一对于相互共轭的位置算符与动量算符。

从p_C
、p_R与p一、p2的关连可能反解患上到

借助对于易性p_C p_R=p_R p_C，有

另一方面，借助x_R、x_C与x一 、x2的关连反解出x一
、x2可患上

同样 ，借助上式以及x_C与x_R的对于易性，势能可能改写为

对于上式最后一行方括号中的款式妨碍配方可患上

将其代入前面势能的表白式中 ，有

综合上述服从 ，可能知道哈密顿算符可能被写为

留意到p_C与x_C是一对于共轭的动量、坐标算符，以及凭证[x_R,p_R]=iћ可能患上到

以是这一对于算符也可能看成是一对于共轭的坐标、位置算符，于是 ，前述哈密顿算符可能分解成两个谐振子哈密顿算符（以及一个常数）  ：

第一个谐振子的品质为M，角频率为ω
，响应的能级公式为

第二个谐振子的品质为μ，角频率与能级公式分说为

可见，这两个等效谐振子的角频率与前面从典型力学角度患上到的简谐行动方式的角频率是同样的 。全部零星总的态空间是这两个谐振子的态空间的直积 ：

由这两个谐振子的能量本征态可能患上到全部零星的能量本征态为

设这两个谐振子各自的升降算符分说为

于是全部零星的能量本征态可能写为

这个态所对于应的能量本征值为

至此，全部零星的能量本征态与能级都被求解进去了 。

（张背阴求解耦合谐振子的能级与能量本征态）

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