若何求解三维谐振子？《张背阴的物理课》介绍三维谐振子的能级简并度

发布时间：2025-02-27 21:57:49 来源：独孤钰珂网 作者：热点

原问题 ：若何求解三维谐振子 ？《张背阴的若何物理课》介绍三维谐振子的能级简并度

为甚么三维谐振子可能分解成三个一维谐振子？三维各向异性的谐振子的能级简并度是多少多？7月14日12时
，《张背阴的求解物理课》第一百五十七期开播，搜狐独创人、维谐维谐董事局主席兼CEO、振张振物理学博士张背阴坐镇搜狐视频直播间，背阴先温习了一维谐振子的物度升降算符解法以及奈何样定性地清晰在一个大气压下液氦无奈凝聚成固体
，而后转向品评辩提及三维谐振子 。理课张背阴向网友们介绍了三维谐振子可能分解成三个一维谐振子 ，介绍简并而后借助一维谐振子的若何能级公式患上到了三维谐振子的能级公式，并在最后合计了三维各向异性谐振子的求解能级简并度。

分解三维谐振子 直接患上到能级表白式

课程一起头，维谐维谐张背阴给网友们温习了上一次物理直播课教学的振张振内容，其中搜罗一维谐振子的背阴升降算符解法 ，以及借助谐振子基态波函数弥散水平合成液氦在一个大气压下无奈凝聚的物度原因。

温习完这些内容后 ，理课张背阴开始介绍三维谐振子模子。艰深来说 ，一个三维势阱，其势能最低点临近可能类似成为一个三维谐振子 ，好比限度在晶格位置上的原子/离子的小幅行动可能看成是粒子在三维谐振子下的行动。假如弹簧的在行动形态下的长度类似为0，而且弹簧的力与其伸长量成正比，那末当弹簧的一端牢靠在原点，另一端衔接上一个粒子时，此模子便是三维谐振子模子，而且这个三维谐振子是各向异性的
。

三维谐振子的势能是三个直角坐标份量的二次函数
。假如选取势能最低点为坐标原点，那末三维谐振子的哈密顿量可能写为

其中，m是粒子的品质  。由上式可能看到，三维谐振子的哈密顿量可能写成三个一维谐振子的哈密顿量之以及
。假如以量子力学的角度来看 ，那便是三维谐振子的哈密顿算符可能写成三个一维谐振子的哈密顿算符之以及
：

借助这些算符的表白式，简略知道Hx、Hy、Hz、H之间是相互对于易的，因此总的希尔伯特空间可能看成是三个希尔伯特空间的张量积 ：

上式等号右侧的三个希尔伯特空间分说对于应着Hx
、Hy 
、Hz作为一维谐振子哈密顿算符时的希尔伯特空间。凭证张量积的界说，艰深的态可能展现为

在某些情景下 ，上式的求以及需要换成积分 。

由于H即是Hx、Hy、Hz三者之以及，因此可能经由一维谐振子的能量本征态相乘患上到三维谐振子能量本征态 ：

其中等号右侧的三个态分说是Hx 、Hy、Hz作为一维谐振子哈密顿算符时的能量本征态，知足

其中 ，n_x 、n_y  、n_z都只能取非负整数值。由此可患上三维谐振子的能级表白式为

对于各向异性的三维谐振子 
，ωx=ωy=ωz=ω，此时能级公式可能简化为

可能知道，n只能取非负整数值。

（张背阴求解患上到三维谐振子的能级表白式）

合计整数的分解可能性 求患上各向异性三维谐振子的简并度

患上到了三维谐振子的能级表白式之后 ，张背阴向网友们批注，在一维谐振子中，一个非负整数n只对于应一个能态，因此能级是不简并的，可是在三维各向异性谐振子中会泛起一个能级对于应多个能态的情景，也便是说能级泛起简并了
。接下来 ，咱们需要求出三维各向异性谐振子的能级简并度 ，也便是统一能级所对于应的线性自力的本征态数目 。

凭证前面的合成可能知道，{ Hx、Hy、Hz}组成一组力学量残缺集，它们的量子数可能残缺把一个能量本征态判断下来 ，因此 ，惟独知道n_x  、n_y、n_z的取值
，就能仅有判断下响应的能量本征态了。又由于各向异性三维谐振子的能级由n抉择 ，而n=n_x+n_y+n_z ，以是惟独要合计出有多少多种方式将n写成三个非负整数之以及即可。好比对于n=10 ，有良多种分解方式：

奈何样合计所有分解的可能性数目呢 ？张背阴先设n_x=k，这样的话就有

简略知道k的取值规模是0到n之间的整数值（搜罗0以及n）。接下来的下场便是，当n_y+n_z=n-k时 ，有多少多种可能性来调配n_y与n_z的值呢 ？这个下场是很重大的，好比设n-k=5，那末简略患上到下面的6种分解情景 ：

对于艰深情景，简略知道当n_y+n_z=n-k时，一共存在(n-k+1)种调配情景。因此
，总的分解可能性的数目为

因此，对于各向异性谐振子的En能级，其简并度为

好比，对于n=10的能级
，其简并度为(10+1)(10+2)/2=66 。张背阴夸张，这个简并度是比力大的 
。

据清晰，《张背阴的物理课》于每一周周五、周日三更12时在搜狐视频直播，网友可能在搜狐视频APP“关注流”中搜查“张背阴” ，旁不雅直播及往期残缺视频回放；关注“张背阴的物理课”账号，魔难课程中的“知识点”短视频；此外，还可能在搜狐往事APP的“搜狐科技”账号上，阅览每一期物理课程的详细文章。

谐振子的本征态波函数

为甚么氦不能组成固体

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